Стандартное отклонение отражает среднюю разницу между отдельными значениями наблюдений и их средним. Но, как мы убедимся в дальнейшем, стандартное отклонение – это не одно и то же, что средняя разница. Чтобы не запутаться, мы обозначим среднее буквой М. Чем больше разница между отдельными значениями наблюдений и М, тем больше стандартное отклонение.
Другими словами, чем больше разброс наблюдений относительно среднего (М), тем больше стандартное отклонение. «Расстояние между результатом и средней составляет 20 см». Это не имеет никакого значения, находится ли данная величина слева или справа от среднего значения.
Стандартное отклонение – это не средняя разница, но во многих случаях оно приближается к средней разнице, а иногда оно даже равно средней разнице. Как видно из таблицы 3.16, стандартное отклонение вычисляется следующим образом:
-
Разница между каждым отдельным значением наблюдения и средним возводится в квадрат.
-
Вычисляется среднее полученных величин.
-
Из этого среднего извлекается квадратный корень (извлечение корня нейтрализует эффект возведения в квадрат).
Эта цепочка действий служит причиной различий между стандартным отклонением и средней разницей.
Различия между стандартным отклонением и средней разницей можно показать на следующем примере, в котором рассматриваются оценки по математике в шести параллельных 12-х классах. В каждом классе есть 10 учеников.
Самая высокая оценка – 11, самая низкая оценка – 1.
Средняя оценка в каждом классе – 6.
Распределение оценок в каждом классе показано в таблице 3.18:
Например, в классе №1 (строка 1):
-
1 ученик получил 8 баллов.
-
2 ученика получили 7 баллов.
-
4 ученика получили 6 баллов.
-
2 ученика получили 5 баллов.
-
1 ученик получил 4 баллов.
Таблица 3.18
☺☺☺☺☺ ☺☺☺☺☺
☺☺
☺☺☺☺☺☺
☺☺
☺☺☺☺ ☺
☺☺ ☺☺☺
☺☺ ☺☺☺
☺☺☺☺ ☺☺
☺☺ ☺☺ ☺
☺☺ ☺☺ ☺
☺☺ ☺☺ ☺
| Оценка | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| (1) | (2) | (3) | (4) | (5) | (6) | (7) | (8) | (9) | (10) | (11) | (12) |
| Класс № 1 | |||||||||||
| Класс № 2 | |||||||||||
| Класс № 3 | |||||||||||
| Класс № 4 | |||||||||||
| Класс № 5 | |||||||||||
| Класс № 6 | ☺☺ ☺☺ ☺ | ||||||||||
| Расчеты | |||||||||||
| Оценка | Среднее (M) | Срендяя разница | Стандартное отклонение (σ) | ||||||||
| (1) | (13) | (14) | (15) | ||||||||
| Класс № 1 | 6 | 0,8 | 1,1 баллов | ||||||||
| Класс № 2 | 6 | 1,6 | 2 | ||||||||
| Класс № 3 | 6 | 2,4 | 2,45 баллов | ||||||||
| Класс № 4 | 6 | 3,6 | 3,63 | ||||||||
| Класс № 5 | 6 | 4,0 | 4,0 | ||||||||
| Класс № 6 | 6 | 5,0 | 5,0 | ||||||||
Симметричное распределение
В вышеприведенном примере распределение оценок в каждом классе является симметричным по отношению к среднему. Другими словами, количество учеников, получивших оценку на несколько баллов выше среднего равно количеству учеников, получивших оценку ниже среднего на то же количество баллов.
Если распределение слишком несимметрично, разница между стандартным отклонением и средней разницей может быть очень большой.
1 ученик получил 4 балла.
Из таблицы 3.18 видно, что в нижних строках наблюдается больший разброс оценок относительно средней оценки. Это, естественно, проявляется в вычислении средней разницы (графа 14) и стандартного отклонения (графа 15).
Начиная со строки 5, графа 14 становится равной графе 15.
В первых четырех строках графа 15 имеет большее значение, чем графа 14, но разница между ними уменьшается с каждой строкой.
Значения в графах 14 и 15 измеряются в баллах.
Например, в строке 3 средняя разница (с М) составляет 2,4 балла, а стандартное отклонение составляет 2,45 балла.
