标准差(σ)含义

标准差反映了个体结果与他们的平均数之间的平均差异，但正如我们将看到的，它并不等同于平均数。为了避免混乱,我们用字母M来表示结果的平均数，单个结果和M之间的差距越大,标准差越大。

换言之，结果在平均数（M）周围散布越广，标准差就越大。结果和平均数之间的差额总是正数。不论数据是在平均数的左边还是右边。

标准差不是差值的平均数，尽管很多时候它非常接近或几乎等于差值的平均数。如表3.16所示，通过以下方式计算标准差:

1. 求个体结果和平均数之差的平方。

2. 计算平方的平均数。

3. 计算平方平均数的平方根（求平方根旨在消除对差值求平方的影响）。

通过这一系列计算导致标准差与差值的平均数之间的差异。

我们通过例子来说明标准差与差值的平均数之间的差异。假设有6个十二年级的班级（1至6），我们想计算他们的数学成绩。每个班都有10名学生。

最高分数是11（优+ +），最低分是1。

每个班级的平均分是6。

表3.18列出了每个班级分数的分布情况。

例如，在12年级1班（第1行）:

• 一名学生得到8分。

• 两名学生得到7分。

• 四名学生得到6分。

• 两名学生得到5分。

• 一名学生得到4分。

表 3.18

对称分布

在上例中，每个班的分数在平均数两侧的分布是对称的，即高于平均分数的学生人数与低于平均分数的人数相等。

当分布极度不对称时，标准差和平均差值之间可能存在较大差距。

一名学生得到4分。

通过表3.18我们可以发现，行数越低，分数在平均数周围的分布越广。这显然反映了平均数差值（第14栏）和标准偏差（第15栏）的计算。

从第5行开始，第14栏等于15栏。

在前4行中，第15栏高于第14栏，但差距在接下来的各行中减少。

第14和15栏的数据是以分数来衡量的。

例如，在 第3行中，平均差（从M）开始是2.4点，标准差是2.45点。