标准差(σ)含义

标准差反映了个体结果与他们的平均数之间的平均差异,但正如我们将看到的,它并不等同于平均数。为了避免混乱,我们用字母M来表示结果的平均数,单个结果和M之间的差距越大,标准差越大。

换言之,结果在平均数(M)周围散布越广,标准差就越大。结果和平均数之间的差额总是正数。不论数据是在平均数的左边还是右边。

标准差不是差值的平均数,尽管很多时候它非常接近或几乎等于差值的平均数。如表3.16所示,通过以下方式计算标准差:

  1. 求个体结果和平均数之差的平方。

  2. 计算平方的平均数。

  3. 计算平方平均数的平方根(求平方根旨在消除对差值求平方的影响)。

通过这一系列计算导致标准差与差值的平均数之间的差异。

我们通过例子来说明标准差与差值的平均数之间的差异。假设有6个十二年级的班级(1至6),我们想计算他们的数学成绩。每个班都有10名学生。

最高分数是11(优+ +),最低分是1。

每个班级的平均分是6。

表3.18列出了每个班级分数的分布情况。

例如,在12年级1班(第1行):

  • 一名学生得到8分。

  • 两名学生得到7分。

  • 四名学生得到6分。

  • 两名学生得到5分。

  • 一名学生得到4分。

表 3.18

分数 11 分 (平均数) 10 分 (平均数) 9 分 (平均数) 8 分 7 分 6 分 5 分 4 分 3 分 2 分 1 分
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
1班

2班
3班

4班

5班



6班



计算结果
分数 平均数(M) 平均差距 标准差 (σ)
(1) (13) (14) (15)
1班 6 分 (平均数) 0.8 分 (平均数) 1.1 分 (平均数)
2班 6 分 (平均数) 1.6 分 (平均数) 2 分 (平均数)
3班 6 分 (平均数) 2.4 分 (平均数) 2.45 分 (平均数)
4班 6 分 (平均数) 3.6 分 (平均数) 3.63 分 (平均数)
5班 6 分 (平均数) 4.0 分 (平均数) 4.0 分 (平均数)
6班 6 分 (平均数) 5.0 分 (平均数) 5.0 分 (平均数)

对称分布

在上例中,每个班的分数在平均数两侧的分布是对称的,即高于平均分数的学生人数与低于平均分数的人数相等。

当分布极度不对称时,标准差和平均差值之间可能存在较大差距。

一名学生得到4分。

通过表3.18我们可以发现,行数越低,分数在平均数周围的分布越广。这显然反映了平均数差值(第14栏)和标准偏差(第15栏)的计算。

从第5行开始,第14栏等于15栏。

在前4行中,第15栏高于第14栏,但差距在接下来的各行中减少。

第14和15栏的数据是以分数来衡量的。

例如,在 第3行中,平均差(从M)开始是2.4点,标准差是2.45点。