La desviación estándar da expresión a la media de las diferencias entre los resultados (o datos) individuales y la media de los mismos, pero no es idéntica a ella, como vamos a aclarar. Para no confundirnos, marcaremos a la media de los resultados (o datos en Gral.) con la letra M. Cuanto más grande sea la diferencia entre los datos individuales y M, más grande va a ser la desviación estándar.

Es decir, cuanto más grande sea la dispersión de los resultados en relación a la media (M) de los mismos, más grande va a ser la desviación estándar. La diferencia entre los resultados (o datos) y el promedio se mide siempre como un valor positivo. No hay diferencia si el dato es menor o mayor que el promedio.

La desviación estándar no es el promedio de las diferencias, pero en muchos casos se acerca mucho al promedio de las diferencias e incluso le iguala. Como hemos visto en la Tabla 3.16, el cálculo de la desviación estándar es de la siguiente manera:

  1. Se elevan al cuadrado las diferencias entre los datos individuales y su media.

  2. Se calcula la media de los cuadrados de las diferencias.

  3. Se calcula la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las diferencias (el cálculo de la raíz cuadrada viene a cancelar la influencia de elevar las diferencias al cuadrado).

Esta serie de acciones es la causa de las diferencias entre la desviación estándar y el promedio de las diferencias.

Marcaremos las diferencias entre la desviación estándar y el promedio de las diferencias por medio de un ejemplo que se relaciona con las notas en Matemáticas de 6 salones del decimosegundo grado (numerados del 1 al 6). Cada salón tiene 10 estudiantes.

La nota más alta es 11 (sobresaliente ++) y la más baja es 1.

La nota media en cada una de los salones es 6.

La distribución de las notas en c/u de los salones presentada en la Tabla.

Por ejemplo: en el decimosegundo grado, la clase no.1 (la primer fila):

  • 1 un alumno recibió una nota de 8,

  • 2 alumnos recibieron una nota de 7,

  • 4 alumnos recibieron una nota de 6,

  • 2 alumnos recibieron una nota de 5,

  • 1 un alumno recibió una nota de 4,

Tabla 3.18

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Nota 11 pts. 10 pts. 9 pts. 8 pts. 7 pts. 6 pts. 5 pts. 4 pts. 3 pts. 2 pts. 1 pt.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
Salón no. 1
Salón no. 2
Salón no. 3
Salón no. 4
Salón no. 5
Salón no. 6 ☺☺
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Cálculos
Nota Promedio (M) Diferencia Promedio Desviación Estándar (σ)
(1) (13) (14) (15)
Salón no. 1 6 pts. 0,8 pts. 1,1 pts.
Salón no. 2 6 pts. 1,6 pts. 2 pts.
Salón no. 3 6 pts. 2,4 pts. 2,45 pts.
Salón no. 4 6 pts. 3,6 pts. 3,63 pts.
Salón no. 5 6 pts. 4,0 pts. 4,0 pts.
Salón no. 6 6 pts. 5,0 pts. 5,0 pts.

Distribución Simétrica

En el ejemplo anterior, en cada una de las clases, la distribución de las notas a ambos lados de la media es simétrica. Esto equivale a decir: el número de alumnos que recibieron una nota más alta que la media, en un número particular de puntos, es igual al número de alumnos que recibieron una nota más baja que la media en el mismo número de puntos.

Cuando la distribución se aleja de la simetría, son posibles diferencias grandes entre la desviación estándar y la media de las diferencias.

1 un alumno recibió una nota de 4,

Mirando la tabla, vemos que en las filas inferiores, las calificaciones son más dispersos ampliamente en torno a la nota media de lo que son en los superiores. Este hecho se refleja obviamente en el cálculo de la diferencia media (columna 14) y la desviación estándar (columna 15).

A partir de la fila 5, columna 14 es igual a la columna 15.

En los primeros 4 filas columna 15 es mayor que la columna 14, pero la diferencia disminuye en las filas inferiores.

Las cifras en las columnas no. 14 y 15 se miden en puntos de calificación.

Por ejemplo, en la fila 3, la diferencia media (de M) es de 2,4 puntos, y la desviación estándar es de 2,45 puntos.